الأسطوانة هي شكل ثلاثي الأبعاد مكون من اثنان من الدوائر المتقابلة يربط بين طرفيهما خطوط متوازية ومستقيمة يبحث بعض الطلاب عن كيفية حساب حجم الأسطوانة لذلك نقدم لكم هذا المقال من موقع الجنينة فتابعوا معنا .
حجم الأسطوانة
يُعرف الحجم بشكلٍ عامّ بأنه عبارة عن مقدار الحيِّز الذي يشغله الشّكل ثلاثيّ الأبعاد في الفراغ، ويُقاس بوحدات مختلفةٍ، مثل: المتر المُكعَّب، والسّنتيمتر المُكعّب، والليتر، وغيرها من الوحدات المكعبة، كما يُطلق أحياناً عليه اسم السعة، وطريقة حساب حجم الأسطوانة تُشبه إلى حدٍّ كبير طريقة حساب حجم المنشور؛ وذلك نظراً للتّشابه الكبير في خصائص كلا الشّكلَين؛ فحجم الأسطوانة هو حاصل ضرب مساحة القاعدة الدائرية الشكل، والذي يساوي مُربَّع نصف القطر مضروباً في الثابت (π)؛ الذي تُقدَّر قيمته بـ (3.142)، بارتفاع الأسطوانة، ويمكن التّعبير عن قانون حجم الأسطوانة رياضياً كالآتي:
- حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة × الارتفاع، ومنه: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر × الارتفاع، وبالرموز: ح= π×نق²×ع؛
حيث: π: ثابت عددي، قيمته (3.14، 22/7). نق: نصف قطر الأسطوانة. ع: ارتفاع الأسطوانة.
قانون مساحة الأسطوانة الجانبية
تعرف المساحة الجانبية للأسطوانة بأنها مساحة الأسطوانة الكلية باستثناء مساحة القاعدتين، ويُمكن التعبير عنها عن طريق تخيّل علبة أسطوانية الشكل يُراد تغطيتها من الخارج بملصق من الورق يلف جانبها بالكامل في المنطقة المحصورة بين القاعدتين، بحيث تشكل كمية الورق اللازمة لذلك المساحة الجانبية للأسطوانة.
وبما أن الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل مُلتف بين القاعدتين الدائريتين، فإن المساحة الجانبية لها تتمثل بمساحة هذا المستطيل، وذلك على النحو الآتي:
مساحة المستطيل = طول المستطيل× عرض المستطيل، وعرض المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة (ع)، أما طوله فهو يتمثّل بمحيط إحدى القاعدتين الدائرتين = 2×π×نصف قطر القاعدة، وبالتالي فإن:
- المساحة الجانبية للأسطوانة = (2×π×نصف قطر القاعدة)×الارتفاع ، وبالرموز: المساحة الجانبية للأسطوانة= 2×π× نق × ع.
قانون مساحة الأسطوانة الكلية
بما أن الأسطوانة تتكون من قاعدتين دائريتي الشكل، ومستطيل مُلتف بين القاعدتين فإن مساحتها الكلية هي عبارة عن مساحة كل من المستطيل، والقاعدتين الدائريتين، أي أنها تساوي مجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدتين، وذلك كما يلي:
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة الأولى + مساحة القاعدة الثانية= π×نق² + π×نق² + 2×π×نق×ع = 2× π×نق²+2×π×نق×ع، وبإخراج 2×π×نق كعامل مشترك فإن:
- المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نصف قطر الأسطوانة×(نصف قطر الأسطوانة+ارتفاع الأسطوانة)، وبالرموز: المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نق×(نق+ع)
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
المثال الأول: أسطوانة معدنيّة ارتفاعها 12سم، ونصف قطر قاعدتها 7سم، جِد حجمها.
الحلّ: بتعويض الارتفاع ونصف قطر القاعدة في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي: حجم الأسطوانة= 7²×12×3.142= 1847.5سم3.
المثال الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2سم، وارتفاعها 5سم، جِد حجمها.
الحلّ: بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي: حجم الأسطوانة= ²2×5×3.14= 62.8سم3
المثال الثالث: أسطوانة ارتفاعها 8م، وقطرها 8م، جِد حجمها.
الحلّ: يجب الانتباه هنا إلى أنَّ المُعطَى هو القُطر وليس نصف القُطر، ولذلك يجب إيجاد نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2، ومن ثُمَّ تعويض الناتج في قانون حجم الأسطوانة:
حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، ويتمّ ذلك كما يأتي: نصف القطر=2/8=4م. وبالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة، ينتج أن: حجم الأسطوانة= 4²×8×3.14= 401.92م3
وبهذا نكون قد وصلنا الى ختام مقالنا الذي كان بعنوان كيفية حساب حجم الأسطوانة وقد تعرفنا على قانون حساب حجم الأسطوانة كما وقدمنا لكم العديد من الأمثلة ودمتم في امان الله وحفظه.